2018年04月29日

「運命」は時空の函数 -私の宗教観

サイコロの目は時間や空間による函数だ、と唐突に言い出すと、常識人は眉間にしわ寄せ、私を笑う。

1、1、1、と一の目が出続けた後、また1が出る確率は?と訊くと、なんの疑いもなく1/6と答えるのは知識人。ただ私は、賭けるコインを一枚増やし、また1が出るだろうと高らかに宣言する。

この世の中にはランダムに見える出来事があまたある。しかし、勝負に勝ち富を得る人は決まっている。ひとはこれを理不尽だと思いながら、「運」がついていなかったのだ、と根拠のない意味づけをして妬ましい気持ちをごまかしている。

ただ本当はサイコロの目のでたらめも、優柔不断な気まぐれも、すべてその背後には法則性が必ずあって、我々が「幸運」や「巡り合わせ」などと思っているのも、じつは自然法則の論理的帰結なのである。

tohyako_lake.JPG

こうした「運命」を物理学の式のように数学で書けたらいいのだけれど、それがどういうわけかまだできていない。これはexp(x^2)の不定積分が初等函数で表せないのと同じことで、人間の使うことば(*1)では表現しきれない複雑性があるからである。

円周率は3.141592…と無限に続くが、その数の並びには法則性がない、と言われている。ただ、円周率には意味がある。つまり、法則性がないんじゃなくて、法則性を見出だせないだけなのである。

hokkaido_university.JPG

乱数は時空を変数とした函数である、と言うと宗教家だけが振り向いて、その函数こそ「神」なのだ、と私に教えてくれるのだが、私はそれも違うと思う。

どんなに辛い境遇にあっても、それはお前の運命だから耐え抜かなくてはいけないのだ、と教えるのが宗教であり、「神」の存在を認めることである。

「運命」が函数で決まっているなら、この先の未来をパラレルに予測できる。「運命」の分かれ道に差し掛かったときに、その数多ある未来のなかから自分の望む未来につながるように、あたらしく初期値を変えてゆけばいいのである。

ただその函数とやらが数字や記号で書けないかぎり、私(*2)の思想は非科学的な「信念」であって、非常識で夢見がちな新しい「新興宗教」のひとつと見做されるだけである。

2018/04/29 鳥山 柚樹

(*1)ここでいう「ことば」とは、日頃使い慣れている言語はもとより、自然科学で使われる数式、論理学なども含まれる、広い意味での人間の認識について云っている。

(*2)この文章における「私」とはだれのことであろうか。そもそも言語だけを用いて文章中の「私」を定義することができるのだろうか。仮に「私=筆者」と書いてみたところで、その「筆者」は筆者にとってフィクションの「筆者」であることは否定できない。

posted by Y.Toriyama at 22:35| Comment(0) | 数学

2018年02月20日

ひらめきで数学を楽しむ〜積分は微分の逆演算〜

 問題に対してどういう態度でどう理論立てて向かってゆくか、というのが数学の学問でいちばん大切なことである。ただ、パズルやゲームとして数学を楽しむばあいには、理詰めで考えるよりも、ひらめきや勘に頼ってみるのもいいじゃない、という話をしたい。そしてそれは言わずもがな、数学研究の行き詰まりに風穴を開ける発想力のトレーニングになる、ということでもある。
 ある函数に対して、微分をするとそれに戻るような函数を求めることを”積分する”と言っている。面積や体積を求めたりする具体的な意味の積分と区別して、”原始函数を求める”と言ったりすることもあるのだが、原始函数を求めることは函数を微分することに比べて案外難しい。それは、微分操作にはある程度のセオリーがあるのに、積分にはこれと決まった定石があるわけではないからである。“置換積分”というのも(先人の積み上げてきた)経験則であるし、“部分積分法”とかいうのも定理と呼べるものではなく、どちらかといえば慣れとかコツのようなものである。事務処理的に問いを解くなら、これらの経験則をしがんでねちっこく計算を進めるほかないが、これらの方法は“これを使うとうまくゆくことがあった、だからうまくゆくことがないわけではない”という程度のものであるから、あまり囚われすぎないほうがいい。
 もっと自由に考えるにはどうしたらいいか。そもそもの原始函数の定義を、“微分したら元の函数に戻るもの”あたりに考えるならば、あてずっぽうにひらめき出した函数を微分してみてそれが元の問題の函数と一緒ならば、それが答えだ、ということになる。ただ、あてずっぽうというには数式の世界は広すぎるから、“適当に考える”の“適当”をハイブリットな意味で使わなければならない。微分の法則やその数式に対して持っている色んな知識を使いながら分析し、楽な気持ちでトライ・アンド・エラーを繰り返す。
 このあいだ、またひとつ数学の未解決問題が解決されたけれど、厳密性の数学とはいいながらも、世紀の大発見はまずひらめきから始まって、そのあと丁寧な思考によって精密に作り上げられてゆくものなのである。何事もひらめきに頼って生きてゆくのも悪くない、と近頃はおもうのである。∎

2018年2月19日 鳥山 柚樹

講義ノート・略証のダウンロード

Inspiration_and_Imagination.pdf

posted by Y.Toriyama at 11:40| Comment(0) | TrackBack(0) | 数学

2016年05月22日

François Vièteの無限積

16世紀フランスの、François Vièteは高次方程式の一般的解法を探求するなど、16世紀数学の潮流であった代数学への貢献が注目される数学者です。しかし、代数学だけでなく、彼は三角函数についての幾つもの論文を後世に残しています。
それらの著作の中でも特に私の印象に残っているのが、通例"ヴィエトの無限積"と呼ばれる、余弦の無限積に関する定理です。

下記講義ノートでは角変数が一般的な場合の証明を載せていますが、François Vièteの原典では、θ=πの場合が取り上げられています。
このことから、講義ノートで私が書いたような形式的な式変形によってではなく、Vièteは単位円の多角形近似から着想を得たものだと推測されます。

そして、Vièteはこの定理の結果から、初めて円周率πを多重根号の形で表現することに成功し、詳しい円周率の値を計算したと言われています。∎

講義ノート・略証のダウンロード
posted by Y.Toriyama at 18:09| Comment(0) | 数学

2016年05月15日

広い海、一粒の真珠〜sin(π/12)の数値評価〜

数学史を紐解いてみると、無理数の発見は哲学者たちに強い衝撃を与えただけでなく、数学者たちに実用を離れた純粋な数学的興味を湧き起こさせた史上最大の大事件の一つであったとも考えられます。

遠い昔の話です。
平方根√が初めて私の前に現れたのは中学校の頃だったようです。
今思えば、平方根√の登場は、私の数学観、世界観を変える大事件だったのです。
平方根を乗り越えて、無理数を受け入れて、更にはそれを指数定理の特別な場合だと認識し、そして負数底の指数函数の後ろ髪を捕まえてより一般的な数である複素数までを数として認めるようになった今から見れば、単なる演算の一つですが、数といえば正整数、それを元にした分数、ややあって負数の概念しか手にしていない普通の中学生の私には、
√2=1.4142…
√3=1.7320…
といった、これまでの四則演算では表現し得ない数が存在する、という事実は受け入れがたいものであったはずです。
私が要領がよく、計算法則や開平法のやり方をただ単に覚えて問題集に楽しく取り組めるような普通な生徒であれば、その後の数学の道を諦めることはなかったのでしょうが、私は落ちこぼれでした。
私は私で、二乗したら2になる数を必死で探し、そのうちに黒板は何度も消され、窓から見える桜は散って、葉桜が綺麗な季節になってゆきました。

ところで、今少し述べたように、中学校時代には平方根を次のように習っただろうと思います。
√a=b ⇔ a=b^2, b>0
正の数bを二乗した数がaであり、aは正の数bを二乗した数である
実はこの単純な仕組みを用いると、いかなる数の平方根でも近い有理数で近似(数値評価)出来ることが分かります。
詳しくは講義ノートを御覧ください。有理数では表せないsin(π/12)の値を題材に、平方根の数値評価の一例を挙げています。


平方根をじっと見つめて、その新しい数の存在を疑って先に進めなかった私の努力は虚しく散りました。
無理数を限りなく正しく表現する有理数を見つけるのは、太平洋に投げた一粒の涙を海の底から掬い上げるようなことだからです。
しかし、そんな私の姿勢が大切なのだと気づかせてくれたのは、もう少し後になってからのある出会いでした。その話は又の日に。∎


講義ノート・略証のダウンロード
posted by Y.Toriyama at 14:01| Comment(0) | 数学

2016年05月01日

野分のまたの日〜雨あとのぬかるみも趣ある道〜

sine,cosine,tangentの三角比を三角函数に拡張してゆく過程において、加法定理が重要な役割を果たすことは周知のとおりであります。
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
この式はおそらく高校数学で紹介される定理であるので、読者諸兄の多くには馴染み深い式ではないでしょうか。
ただ、しかしなぜ、角変数がxとyの二つだけなのでしょう。数学は自由です。変数は三つでも好いんじゃないでしょうか。

例えば、問題集には次のような計算問題が載っています。
sin(x+π/3+π/4)=?
これを見たとき、多くの人は"π/3+π/4"の部分を"ひとかたまり"=yとみて、先の加法定理を使い、さらにもう一度"π/3+π/4"の三角函数に対して加法定理を、というように加法定理の二回使いを考えます。
sin(x+π/3+π/4)
=sin(x)cos(π/3+π/4)+cos(x)sin(π/3+π/4)
=sin(x){cos(π/3)cos(π/4)-sin(π/3)sin(π/4)}
+cos(x){sin(π/3)cos(π/4)+cos(π/3)sin(π/4)}
=(√2-√6)/2×sin(x)+(√2+√6)/2×cos(x) ∎

具体的な問題を解決するためには加法定理の二度使いといった"煩雑"な作業をするのに、どうして変数が三つの場合の加法定理を考えてみることはしないのでしょうか?
今の計算のように、一般の場合もその計算過程あるいは結果は"まとまりの無い"ものになると、予想してしまうからなのでしょうか。
ところが、数学のいくら"綺麗な"定理であっても、その証明には何段階もの枝葉の必要な"煩雑"な操作が必要なことは往々にしてあることです(例えば、代数学や微積分学の基本定理など。)。

だから、式変形の道のりは"野分のまたの日"の泥濘に見えても、その道の先は昼過ぎには明るく晴れ上がることもあるのです。
実用性は?と問われてもそれはお門違いです。加法定理の変りダネ、これは雨あとの午後の小さな山歩きなのですから。∎

講義ノート・略証のダウンロード
タグ:三角函数
posted by Y.Toriyama at 15:03| Comment(1) | TrackBack(0) | 数学
検索ボックス